Ecuación de la circunferencia (Concepto fuera del origen)

Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura
x
Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.

Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será
(x ─ a) 2 +  (y ─ b) 2 = r 2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2) 2 +  (y ─ ─ 3) 2 = 5 2
(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 5 2
(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h) 2 +  (y ─ k) 2 

Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2) 2 +  (y + 3) 2 = 25
y desarrollamos  sus dos binomios:
(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25
(x 2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y 2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x 2 ─ 4x  +  4) + (y 2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
x 2 +  y 2 ─ 4x  +  6y + 4 + 9 ─ 25 = 0
x 2 +  y 2 ─ 4x  +  6y  ─ 12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si ecuacion_circunferencia003 entonces   D = ─ 2a
Si ecuacion_circunferencia004 entonces   E = ─ 2b
Si ecuacion_circunferencia016 entonces    F = a 2 + b 2 ─  r 2
Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:
ecuacion_circunferencia017
ecuacion_circunferencia018
ecuacion_circunferencia019
F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
x 2 + y 2 + ─4x + 6y + ─12 = 0
x 2 + y 2 + ─4x + 6y ─12 = 0
obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

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